MA TRẬN TRỰC GIAO

Mỗi bộ phận của một ma trận thường được cam kết hiệu bằng một biến cùng với nhì chỉ số nghỉ ngơi bên dưới. ví dụ như, a2,1 màn biểu diễn phần tử ở hàng máy nhị cùng cột thứ nhất của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao

quý khách đã xem: Ma trận trực giao là gì

Trong tân oán học, ma trận là 1 trong mảng chữ nhật<1>—những số, cam kết hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng với cột<2><3>—nhưng mà từng ma trận tuân theo đông đảo nguyên tắc định trước. Từng ô vào ma trận được Gọi là các bộ phận hoặc mục. lấy một ví dụ một ma trận tất cả 2 sản phẩm với 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Khi các ma trận gồm thuộc size (chúng bao gồm thuộc số mặt hàng cùng cùng số cột), thì hoàn toàn có thể triển khai phép cùng hoặc trừ nhị ma trận bên trên các phần tử tương xứng của bọn chúng. Tuy nhưng, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ rất có thể tiến hành được khi ma trận đầu tiên bao gồm số cột ngay số mặt hàng của ma trận lắp thêm hai. Ứng dụng thiết yếu của ma trận sẽ là phnghiền màn trình diễn các biến đổi tuyến tính, Tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x . Ví dụ, phép quay những vectơ trong không gian tía chiều là 1 trong những phép thay đổi đường tính mà có thể màn biểu diễn bằng một ma trận xoay R: trường hợp v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) diễn đạt địa điểm của một điểm vào không gian, tích của Rv là 1 trong những vec tơ cột diễn tả địa chỉ của đặc điểm đó sau phnghiền tảo này. Tích của hai ma trận đổi khác là một trong những ma trận trình diễn hợp của hai phnghiền biến đổi tuyến đường tính. Một ứng dụng không giống của ma trận sẽ là search nghiệm của những hệ phương trình đường tính. Nếu là ma trận vuông, hoàn toàn có thể nhận được một vài tính chất của chính nó bằng phương pháp tính định thức của chính nó. ví dụ như, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu còn chỉ nếu như định thức của nó không giống không. Quan niệm hình học tập của một phxay thay đổi đường tính là cảm nhận (với đa số thông báo khác) từ trị riêng biệt và vec tơ riêng biệt của ma trận.

cũng có thể thấy áp dụng của định hướng ma trận vào hầu hết những nghành nghề khoa học. Trong từng nhánh của đồ dùng lý học tập, bao gồm cơ học tập truyền thống, quang quẻ học tập, năng lượng điện tự học, cơ học tập lượng tử, và năng lượng điện cồn lực học lượng tử, bọn chúng được sử dụng nhằm nghiên cứu những hiện tượng kỳ lạ trang bị lý, nlỗi hoạt động của đồ gia dụng rắn. Trong đồ họa máy tính xách tay, ma trận được thực hiện nhằm chiếu một ảnh 3D lên màn hình 2D. Trong lý thuyết xác suất và những thống kê, những ma trận tự dưng được thực hiện nhằm miêu tả tập vừa lòng những xác suất; ví dụ, chúng sử dụng trong thuật tân oán PageRank nhằm xếp hạng các trang trong lệnh tìm kiếm kiếm của Google.<4> Phxay tính ma trận tổng quát hóa những quan niệm vào giải tích nlỗi đạo hàm với hàm mũ so với số chiều to hơn.

Một nhánh bao gồm của giải tích số dành để cải cách và phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán thù ma trận, một chủ thể sẽ hàng ngàn năm tuổi với là một trong nghành nghề nghiên cứu rộng lớn ngày này. Phương pháp khai triển ma trận làm cho dễ dàng và đơn giản hóa những tính tân oán lẫn cả về phương diện định hướng lẫn thực hành. Những thuật tân oán dựa vào phần đa cấu tạo của những ma trận đặc biệt, nhỏng ma trận thưa (sparse) cùng ma trận ngay sát chéo, góp xử lý rất nhiều tính tân oán trong cách thức phần tử hữu hạn cùng đông đảo tính toán khác. Ma trận vô hạn mở ra vào cơ học tập thiên thể và lý thuyết nguyên ổn tử. Một ví dụ đơn giản dễ dàng về ma trận vô hạn là ma trận trình diễn các tân oán tử đạo hàm, nhưng mà tính năng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ to 2 Lịch sử 3 Ký hiệu 4 Các phxay toán thù cơ bản 4.1 Phép cùng, nhân một số cùng với ma trận, cùng ma trận đưa vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phxay tân oán sản phẩm 4.4 Ma trận bé 5 Phương thơm trình con đường tính 6 Biến đổi đường tính 7 Ma trận vuông 7.1 Các nhiều loại ma trận đặc biệt quan trọng 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch cùng nghịch hòn đảo của nó 7.1.5 Ma trận xác định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Các tính toán thù chủ yếu 7.2.1 Vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch hòn đảo 7.2.4 Vectơ riêng rẽ và trị riêng biệt 8 Khía cạnh tính tân oán 9 Phân tích ma trận 10 Khía cạnh đại số trừu tượng với bao quát hóa 10.1 Ma trận cùng với các phần tử không ngừng mở rộng 10.2 Mối liên hệ cùng với ánh xạ tuyến tính 10.3 Nhóm ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 Ứng dụng 11.1 Lý tngày tiết vật thị 11.2 Giải tích với hình học 11.3 Lý tngày tiết xác suất và thống kê lại 11.4 Đối xứng với những biến đổi vào đồ gia dụng lý học 11.5 Tổ phù hợp con đường tính của những tâm lý lượng tử 11.6 Dao động riêng rẽ 11.7 Quang hình học tập 11.8 Điện tử học 12 Tđắm đuối khảo 13 Tđê mê khảo 13.1 Tmê man khảo về đồ vật lý 13.2 Tyêu thích khảo về lịch sử 14 Liên kết bên cạnh

Định nghĩa

Ma trận là một mảng chữ nhật đựng những số hoặc hầu như đối tượng người dùng toán học khác, mà lại có thể khái niệm một vài phxay toán thù như cùng hoặc nhân trên những ma trận.<5> Hay gặp mặt nhất đó là ma trận trên một trường F là 1 trong những mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cùa tới những ma trận thực cùng phức, có nghĩa là các ma trận nhưng những thành phần của nó là hồ hết số thực hoặc số phức. Những các loại ma trận tổng quát rộng được bàn thảo sống dưới. lấy ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6 răng tròn,4&5,59,7&-6,2end}.}



Các số, ký hiệu giỏi biểu thức vào ma trận được Điện thoại tư vấn là những thành phần của nó. Các con đường theo phương ngang hoặc pmùi hương dọc chứa các thành phần trong ma trận được gọi tương ứng là mặt hàng và cột.

Độ phệ

Độ Khủng hay cỡ của ma trận được có mang bằng số lượng sản phẩm với cột mà ma trận gồm. Một ma trận m hàng với n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong những lúc m với n được Điện thoại tư vấn là chiều của nó. lấy một ví dụ, ma trận A sinh sống bên trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ gồm một hàng call là vectơ sản phẩm, với những ma trận chỉ có một cột điện thoại tư vấn là vectơ cột. Ma trận có thuộc số mặt hàng cùng số cột được Call là ma trận vuông. Ma trận tất cả vô hạn số mặt hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được call là ma trận vô hạn. Trong một trong những ngôi trường đúng theo, như công tác đại số máy vi tính, vẫn bổ ích Khi xét một ma trận nhưng không tồn tại sản phẩm hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận rỗng.

Tên Call Độ phệ lấy ví dụ Miêu tả Vectơ sản phẩm 1 × n 3&7&2end}}




Ma trận gồm một cột, nhiều khi được dùng để màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}



Ma trận có thuộc số hàng và số cột, nó được áp dụng nhằm màn biểu diễn phép đổi khác đường tính xuất phát từ 1 không gian vec tơ vào chủ yếu nó, nhỏng phnghiền bức xạ, phép xoay hoặc ánh xạ giảm.

Lịch sử

Ma trận có một lịch sử dân tộc dài về áp dụng trong giải những pmùi hương trình đường tính dẫu vậy bọn chúng được nghe biết là các mảng cho đến tận trong thời điểm 1800. Cuốn nắn sách Cửu chương thơm toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN giới thiệu pmùi hương trận để giải hệ năm phương thơm trình con đường tính,<8> bao gồm có mang về định thức. Năm 1545 bên toán thù học tập người Ý Girolamo Cardano giới thiệu cách thức giải này vào châu Âu Lúc ông chào làng quyển Ars Magna.<9> Nhà toán thù học nước Nhật Seki đang sử dụng cách thức mảng này để giải hệ pmùi hương trình vào năm 1683.<10> Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên màn biểu diễn những biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn nắn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa những năm 1700 cùng 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz chào làng phương pháp sử dụng những mảng để đánh dấu lên tiếng tuyệt tìm kiếm nghiệm với nghiên cứu trên 50 một số loại ma trận khác biệt.

Xem thêm: Tiểu Sử Thành Chân

<9> Cramer đưa ra nguyên tắc của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ vào giờ đồng hồ Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất từ bỏ mater—mẹ<12>) vày James Joseph Sylvester nêu ra vào khoảng thời gian 1850,<13> khi ông nhận ra rằng ma trận là 1 đối tượng người sử dụng làm mở ra một số định thức mà lại thời nay hotline là phần phụ đại số, tức là định thức của rất nhiều ma trận nhỏ rộng chiếm được từ ma trận thuở đầu bằng phương pháp xóa đi những sản phẩm với những cột. Trong một bài bác báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã khái niệm trong bài xích báo trước về “Ma trận” là một trong những mảng chữ nhật chứa những thành phần, nhưng mà đầy đủ định thức không giống nhau có thể giới thiệu định thức của ma trận chị em.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về các phnghiền đổi khác hình học tập áp dụng ma trận ngoài ra phxay biến hóa xoay đã được điều tra trước đó. Thay vào kia, ông quan niệm các phép toán nhỏng cộng, trừ, nhân và phân tách phần nhiều ma trận này với chứng minh những luật lệ phối kết hợp cùng phân pân hận vẫn được vừa lòng. Cayley đã nghiên cứu và phân tích cùng minh chứng đặc điểm không giao hân oán của phxay nhân ma trận cũng tương tự tính giao hoán của phép cùng ma trận.<9> Lý ttiết ma trận sơ knhị bị giới hạn ngơi nghỉ bí quyết sử dụng những mảng và tính định thức với những phép toán thù ma trận trừu tượng của Arthur Cayley sẽ tạo nên sự cuộc giải pháp mạng mang lại triết lý này. Ông áp dụng tư tưởng ma trận cho hệ pmùi hương trình đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley chào làng Hồi cam kết về triết lý ma trận<15><16> trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà tân oán học tập người Anh Cullis là fan thứ nhất thực hiện cam kết hiệu ngoặc văn minh mang đến ma trận vào khoảng thời gian 1913 và ông cũng viết ra cam kết hiệu đặc biệt quan trọng A = để màn biểu diễn một ma trận cùng với ai,j là phần tử làm việc sản phẩm trang bị i với cột vật dụng j.<9>

Quá trình nghiên cứu định thức bắt đầu từ một trong những mối cung cấp không giống nhau.<17> Các bài xích toán số học tập dẫn Gauss đi tới tương tác những thông số của dạng toàn pmùi hương, phần đa đa thức gồm dạng x2 + xy − 2y2, cùng ánh xạ tuyến tính trong không khí cha chiều với ma trận. Eisenstein đang cải tiến và phát triển xa hơn những định nghĩa này, với thừa nhận xét theo cách vạc biểu thị đại rằng tích ma trận là ko giao hoán. Cauchy là bạn thứ nhất chứng tỏ đầy đủ mệnh đề tổng thể về định thức, Lúc ông thực hiện tư tưởng nlỗi sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy vượt ajk bởi ajk vào đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i
với Π ký hiệu tích các hệ số đứng ẩn dưới. Ông cũng chứng tỏ vào thời điểm năm 1829 rằng cực hiếm riêng rẽ của các ma trận đối xứng là thực.<18> Jacobi phân tích “định thức hàm”—nhưng mà trong tương lai phát triển thành định thức Jacobi nhỏng bí quyết call của Sylvester—nó được ứng dụng nhằm nghiên cứu các biến hóa hình học tập ở tầm mức cục bộ (hay cực kì bé); bài bác báo Vorlesungene über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> cùng Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhì số đông được công bố vào năm 1903, lần trước tiên đang coi định thức Theo phong cách định đề hóa, ngược lại đối với biện pháp tiếp cận cụ thể ngơi nghỉ số đông lần trước kia nlỗi trong công thức của Cauchy.

đa phần định lý thuở đầu chỉ tuyên bố cho những ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley–Hamilton được chứng minh đến ma trận 2×2 nhỏng Cayley đã cho thấy trong luận án của bản thân mình, và do Hamilton cho ma trận 4×4. Frobenius, dựa vào những dạng tuy vậy con đường tính, sẽ tổng thể định lý quý phái đầy đủ form size (1898). Cũng vào thời điểm cuối thế kỷ 19 phương pháp khủ Gauss–Jordan (bao quát hóa mang đến ngôi trường phù hợp đặc biệt sẽ là phxay khử Gauss) do bên trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong thời điểm đầu thế kỷ trăng tròn, ma trận đang đạt mức phương châm trung vai trung phong trong đại số con đường tính,<21> một phần nhờ vào ứng dụng của chính nó trong phân các loại khối hệ thống số siêu phức vào cầm kỷ trước.

Sự khởi đầu của cơ học ma trận vị những công ty đồ dùng lý Heisenberg, Born và Jordan nêu ra sẽ dẫn đến phân tích về ma trận có vô hạn mặt hàng và cột.<22> Later, von Neumann đang thiết lập cấu hình lên tuyên bố tân oán học tập của cơ học tập lượng tử, bằng cách phát triển xa rộng những khái niệm của giải tích hàm nlỗi toán tử con đường tính vào không gian Hilbert, mà lại, nói sơ lược, khớp ứng với không gian Euclide, tuy thế bao gồm vô hạn hướng hòa bình.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}